Geri Dönüş Yolu: eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

ÖZDEŞLİK, ÖZDEŞLİK ÇEŞİTLERİ, ÖZDEŞLİĞİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar  denir.

 

*  P(x) = x2 + 4 ,  Q(x) = 3x2 + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

 

P(x) = x2 + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

 

 

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4

 

b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2   özdeşlik

 

c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2     özdeşlik değildir.

 

 

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I) Tam Kare Özdeşliği:

 

a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

 

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

 

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.

 

 

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

 

a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 

 

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2

 

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.

 

 

IV) xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

 

i)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

ii)

a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 

iii)

a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

 

iv)

a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

 

v)

a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

 

1)  x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy

 

2)  x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

 

3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 

4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 

5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 

6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

 

7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

 

1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?

 

x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy              2ab = 289 – 145

145 =  (17)2 – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72

 

2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44

a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =

a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44

 

3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

 

4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108

a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27

 

5)

m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

 

6)

a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7

 

7)

x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

= ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise;      x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

198

 

8)

a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25

 

 

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

 

 

1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

 

1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. bilgiyelpazesi.net

 

a)  3a + 3b = 3(a + b)

 

b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

 

c)  12x + 9y =3(4x + 3y)

 

d)  3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)

 

e)  3ax + 3ay – 3az

 

f)  (a – b) x + 3 (a – b)

 

g)  (m – n) – (a + b)(m – n)

 

h)   – a – b – x2 (a + b)

 

ı)   x2(p – 3) + ma2 (3 – p)

 

i)   1 – 2x + m (2x – 1)

 

 

2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

 

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

 

2)

a)  mx + ny + my + nx

 

b)  xy – xb – yb + b2

 

c)  x4 – 4 + 2x3 – 2x

 

d)  2x2 –3x – 6xy + 9y

 

e)  x3 – x + 1 – x2

 

f)   x4 – x + x3 – 1

 

g)  ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2)

 

h)  ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

 

ı)  mn(zi + y2) + zy (m2 + n2)

 

i)  a2b2 + 1 – (a2 + b2)

 

 

3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

 

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

 

3)

 

a)  x2 + 4xb + 4b2

 

b)  4a2 + 12ab + 9b2

 

c) 4a2b2 – 4abc + c2

 

4)

 

a) a2b + 8ab +16b3

 

b) 2m3 – 28m2 +98m

 

c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3

 

 

4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.

 

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

 

5)  a) 25 – 9a2b2

 

b) x4 – 1

 

c) (m – n)2 – (m + n)2

 

 

6)  a) 18x2 – 2y2

 

b) 2a2b3 – 32b

 

c) 12x3y – 75xy5

 

 

7)

 

a) 9a2 – 6a +1 – b2

 

b) x2 – 12x + 36 – 4y2

 

c)16m2 – n2 – 6n – 9

 

d)1 – x2 – 2xy – y2

 

e) m2 – n2 – 3m + 3n

 

f) a2 – 25b2 – a + 5b

 

g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2

 

h)  9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2

 

 

5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:

 

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

 

8)   a) a3 + 8

 

b) 8 – m3

 

c) x3 + 1

 

d) 27a3 – 64

 

e) x3a3 + b3

 

9)   a) 81m3 – 3n3

 

b) 24x3y – 3y

 

c) 2x + 54x4

 

10)  a) (x +y)3 – 8

 

b) a3 + 8(a - b)3

 

c) (m – n)3 + 1

 

 

6) xn   yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 

 

11)

 

a)  x4 + 1  =  (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

 

b)  x4 – 1  =  (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

 

c)  x5 + 25 =  (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

 

d)  x5 – 1  =  (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)

 

 

7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

 

Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x4 + 7x2 + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

 

4x4  +  7x2  + 4  =  4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2               = 4x4 + 8x2 + 4– x2

= (2x2 + 2)2 – x2

2x2                                                                = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

2.2x2.2 = 8x2                                                               = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)

 

 

13)  x2 – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5    = (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

14)

 

a)  m2 + 2m – 24

 

b)  a4 + a2 + 1

 

c) 16a4 + 4a2b2 + b4

d)  a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1

 

(Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )

 

 

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

15)

 

a) x2 + 5x + 6

 

b) x2 – 5x + 6

 

c) x2 + 7x + 6

 

d) x2 – 7x + 6

e) x2 + 5x – 6

 

f) x2 – 5x – 6   g) x2 + x – 6

 

h) x2 – x – 6

 

ı) x2 – 7x – 18

 

i) x4 – x2 – 30

 

k) m2 – 6m – 27

 

l) x2 – 3xy – 10y2

 

m)  –x2 – 2x + 3

 

n) x2 – 13x + 30

 

o) x2 + 2y2– 3xy

 

 

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) bilgiyelpazesi.net

mx            p

nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

 

 

16)

6x2 + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

2x         + 3

 

17)

a) 3x2 – 2x – 8            b) 3x2 – 7x + 2       c) 2m2 + 5mn – 12n2

 

d) 8a2 – 2ab – b           e) 4x2 + 21x + 5     f) 36a2 – 33ab – 20b2

 

g) 4m2 + 11m – 3        h) 6a2 + 5a – 6        ı) 12a2 – 8ab – 15b2

 

i)  2m2 – 10m + 12        k) 3x2 + 3x – 18      l)  3 n2 + 30n + 48

 

18) 

a2 + 2ab + b2 = 3     ve   c2 + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

c2 + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

a2 + b2 + c2 + 2ab  + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9  Ç = {-3, 3}

 

19)

x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

 

20)

a + b yerine ab yazılırsa

(a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur.

a .b  = y   diyelim.

y2 – 2y – 24 = 0     y – 6) (y + 4) = 0      y = - 4   ve   y = 6

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.

Yorumlar

.

6. **Yorum**
->Yorumu: yardımınız için çoook teşekkür ederim siz olmasaydınız ne yapacağımı bilmiyordum:)
->Yazan: fatma.

->Yazan   : elif
->Yorumu: ii di özdeşlik konusu çok ii anlatılmış size çok teşekkür ederim saolun varolun.

->Yazan   : sümeyye yakış
->Yorumu: performansımın BİR BÖLÜMÜNÜ buradan yapıyorum çok saolun TŞK.

->Yazan : alpay
->Yorumu: cok sagolun cok güzel bir site burasi.

->Yazan : eses
->Yorumu: prformans ödevim için çok ise tesekkür ederim =).

>Yazan: esra
>Yorum:
çok yardiminiz ddokundu saolun 100 aldim size yemin edebilirim:):) .

>>>YORUM YAZ<<<
Not: Yorum Yaz Bölümünden Yazılar Da Gönderebilirsiniz. Yazıyı belgenizden kopyalayıp
aşağıdaki
Yorumunuz Kutucuğu'na yapıştırmanız yeterli...

 Adınız:
 Yorumunuz :


Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin
ve
delete tuşuna basın...

 


Eklediğiniz yorumlar/yazılar onaylandıktan sonra siteye eklenecektir.

 E Mail
(Zorunlu Değil):


 
 


<<<TELİF HAKKI KONUSU (ALTTAKİ KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>

...Degerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazirladigimiz binlerce yazi bulunmaktadir... Hassas davranmamiza karsin gözümüzden kaçan bazi yazilar telif hakkiyla korunuyor olabilir... Telif Hakkiyla korunan yazilarla karsilasirsaniz (KAYNAK GÖSTERMENIZ SARTIYLA) yazilarin altindaki YORUM YAZ kismina bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazilar derhal siteden kaldirilacaktir... Saygilarimizla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...

Eğitim Öğretim Tüm Konular
Tiyatro Oyunları, Skeçler, Piyesler
Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri
Kitap Özetleri
Belirli Gün ve Haftalar İle İlgili Tüm Belgeler
Konu Anlatımlı Dersler
İlahiler, İlahi Sözleri
Rehberlik Köşesi Belgeler, Araştırmalar, Yazılar
Roman Özetleri
Soru Bankası, Test Soruları
Yazarların, Şairlerin Hayatı, Eserleri / Kitapları, Edebi Kişilikleri
Yazılı Soruları - Yazılı Arşivi
Atasözleri ve Özellikleri
Belirli Gün ve Haftalar İle İlgili Tüm Belgeler
Coğrafya Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi İle İlgili Yazılılar, Testler
Çeşitli Yazılar, Oradan Buradan
Çocuk Eğitimi
Çocuk Oyunları, Oyunlar
Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri
Dede Korkut Hikayeleri, Özetleri, Özellikleri
Destan, Destanlarımız Ve Özellikleri
Dil İle Kültür Arasındaki İlişki, Dil Nedir, Kültür Nedir
Edebiyat Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Eğitim Bilimleri Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test Soruları
Enler Bölüm Bölüm
Fen ve Teknoloji Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Gelişim Ve Öğrenme Psikolojisi Dersi Konu Anlatımlar, Testler
Güzel Sözlerden Seçmeler, Özdeyişler, Vecizeler
Hazır Cevaplar
Hikayelerden Seçmeler
İllerimiz Ve İlçelerimiz Özellikleri Türkiye Tanıtımı
İlginç Ve Eğlenceli Bilgiler
İlkler Bölüm Bölüm
İngilizce Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
İnkılap Tarihi Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
İsimler Ve Anlamları
Karne Bilgileri Öğretmen Görüşü Örnekleri
Kitap Özetleri
Konu Anlatımlı Dersler
Maniler, Manilerimiz
Masallardan Seçmeler
Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Meslek Tanıtımları, Meslek Seçimi, Özellikleri
Muhasebe Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Ninni Ninni Ninniler, Ninnilerden Seçmeler
Pratik Bilgiler
Rehberlik Köşesi Belgeler, Araştırmalar, Yazılar
Roman Özetleri
Sayışmaca - Sayışmacalar, Sayışmacalardan Seçmeler
Sizin Gönderdikleriniz
Soru Bankası, Test Soruları
Sözlük Türkçe - İngilizce - Almanca
Şiir Koleksiyonu - Seçme Güzel Şiirler
Tarih Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
TC İnkılap Tarihi Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Tekerleme - Tekerlemeler, Tekerlemelerden Seçmeler
Tiyatro Oyunları, Skeçler , Piyesler
Türkçe Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test Soruları
Türküler, Türkü Sözleri, Türkülerimiz
Uluslararası İlişkiler Ve Politika İle İlgili Konu Anlatımlar
Vatandaşlık, Anayasa, İnsan Hakları Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Yazarların, Şairlerin Hayatı, Eserleri / Kitapları, Edebi Kişilikleri
Yazılı Soruları - Yazılı Arşivi 
Devamını Göster >>>

EĞİTİM ÖĞRETİM

egitim-ögretim

KONU ANLATIMLI DERS

YAZILI SORULARI

SORU BANKASI TESTLER

Soru Bankası Test Soruları

REHBERLİK KÖŞESİ

EĞLENELİM GÜLELİM

BİLGİSAYAR OYUNLARI

YEMEK TARİFLERİ

Yemek Tarifleri Beslenme Ve Mutfak

DİNİM İSLAMİYET

SAĞLIKLI YAŞAM

ROMAN HİKAYE ŞİİR