eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

MODÜLER ARİTMATİK, MODÜLER ARİTMATİĞİN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Yeni Toplama İşlemi:

 

Örnek: Sabah saat 8’de evden çıkan bir öğrenci 7 saat  sonra tekrar eve dönüyor. Öğrenci eve döndüğünde saatin kaçı gösterdiğini bulalım.

 

Çözüm:    8 + 7 = 15

Saat üzerinde 15 sayısı yoktur. Saat üzerinde 1’den 12’ye kadar olduğundan, 15 sayısını 12 sayısına böleriz. Kalan sorumuzun cevabıdır. 12 sayısına da saat aritmetiğinin modülü denir.

8 Å 7 º 3 (mod 12) biçiminde yazarız.

 

Yeni Çarpma İşlemi:

 

Yeni çarpma işleminde de verilen sayılar çarpılır. Çarpım modüle eşit veya modülden büyükse, modüle böleriz ve kalanı sonuç olarak alırız.

 

Örnek: 5 Ä 8 º x (mod 8) işlemindeki x sayısını bulalım.

Çözüm: 5 . 8 = 40 ve 40’ın 7’ye bölümünden kalan 5 olduğundan;

5 Ä 8 º 5 (mod 7) dir.  X = 5 tir.

 

Kalan bulmak:

 

Örnek: 12124 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

Çözüm:

12124 º x          (mod 5)

12 º 2                (mod 5)

122 º 4                (mod 5)

(122)2 º 42           (mod 5)

(124)31 º 131        (mod 5)

12124 º 1          (mod 5)

¯

kalan

 

 

Pratik Kalan Bulmak:

 

·           Tabanın, verilen modüle bölümünden kalan sıfır ise sonuç sıfırdır.

Örnek: 2165 ‘in 3’e bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm: 21 sayısının 3 ile bölümünden kalan sıfır olduğundan sonuç sıfırdır. Yani 2115 º 0 (mod 3)

 

·           Tabanın verilen modüle bölümünden kalan 1 ise sonuç 1 dir.

Örnek: 572 º x (mod 4) ifadesindeki x ’i bulalım.

Çözüm: 5 sayısının  4 ile bölümünden kalan 1 olduğundan sonuç 1 dir. Yani 572 º 1 (mod 4)

 

 

 

İRRASYONEL SAYILAR

İrrasyonel Sayılar:

 

·           Her rasyonel sayının devirli bir ondalık açılımı olduğunu ve sayı ekseninde belirli  bir yerinin olduğunu biliyorsunuz. Örneğin;

2 = 0,4

5

·           Ondalık açılımı devirli olmayan bir çok sayı vardır. Bu sayıların rasyonel karşılığı yoktur. Örneğin;

p = 3,1415926...

·           Karesi 2’ye eşit olan bir rasyonel sayı bulamayız. Bu sayıyı Ö2 şeklinde gösteririz.

12 = 1

 

Bu işleme devam edersek karesi 2’yi veren bir rasyonel sayının olmadığını görürüz.

O halde Ö2 sayısı sayı ekseninde 1 ile 2 arasındaki bir noktaya karşılık gelir.

1 < Ö2 < 2

 

Ö2  gibi rasyonel sayı karşılığı olmadığı halde sayı ekseninde bir görüntü noktası olan sayılara İRRASYONEL SAYILAR denir.

İrrasyonel sayılar, I ile gösterilir.

 

·           Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel Sayılar kümesini verir. Reel sayılar R ile gösterilir.

Q È I = R

 

I Ì R ise

N Ì Z Ì Q Ì R

 

KÖKLÜ SAYILAR:

 

A bir reel sayı ve m, 1’den büyük bir tamsayı mÖa sayısına a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.

m sayısına da kökün derecesi denir.

 

·           M pozitif tek tamsayı ise mÖa sayısı bir reel sayıdır.

3Ö5 reel sayıdır.

·           m pozitif çift tamsayı ise mÖa sayısı bir reel sayı değildir.

Ö5 reel sayıdır.

 

Not: Ö-1 sayısı reel sayı değildir. Çünkü hiç bir reel sayı ( - ) değerde olamaz.

 

 

Karekök İçindeki İfadenin Kök Dışına Çıkarılması:

 

Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler, 2 veya 2’nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışında çıkarılabilirler.

Öa2m = am

Öa2 . b2  = a . b

 

Örnek: Ö4 = Ö2 = 22/2 = 2

 

 

Kareköklü bir sayıyı aÖb şeklinde yazmak:

 

Örnek: Ö32 = Ö16.2 = Ö16 . Ö2 = 4Ö2

 

Rasyonel Sayıların Karekökü:

 

Örnek: Ö16 = Ö42 =  4

121    112     11

 

Uyarı: Tam sayılı olan kesirler birleşik kesirlere çevrilerek,pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.

 

Ondalık Sayıların Karekökü:

 

Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabilir.

 

Örnek Ö0,04 sayısının eşitini bulalım. bilgi yelpazesi.net

 

Çözüm: Ö0,04 = Ö= 2 = 0,2

100  10

 

 

Karekök dışındaki çarpanın kök içine alınması:

 

Kareköklü sayının katsayısının kök içine almak için katsayısının karesini kök içindeki sayı ile çarpar, kök içine yazarız.

aÖb = Öa2 .b

Örnek: 2Ö3 = Ö22 . 3 = Ö4 . 3 = Ö12

 

 

Toplama ve Çıkarma:

 

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise katsayılar içine yazılır. Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

 

Öa . Öb = Öa .b  ve    Öa . Öa = Öa2 = a

 

Örnek Ö5 . Ö3 = Ö5 . 3 = Ö15

 

Kareköklü sayının n. kuvveti kök içindeki sayının n. kuvvetidir.

(Öa)n = Öan

 

Örnek: (Ö7)2 = Ö72 = 7

 

Bölme:

 

Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır. Sadeleştirmeler yapılıp mümkünse kök dışına çıkarılır.

Öa = Ö a

Öb        b

 

Ö32 = Ö 32 = Ö8 = 2Ö2

Ö4        4

 

Paydayı Rasyonel Yapmak (Kökten Kurtarmak):

 

Paydayı kökten kurtarmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız.

 

·           Öa nın eşleniği Öa ve Öa . Öa = a dır.

·           Öa + Öb nin eşleniği Öa - Öb ve (Öa + Öb) . (Öa - Öb) = a - b

 

1.      Paydada Öa varsa:

Pay ve paydayı Öa ile çarparız.

 

Örnek: 1 = 1 . Ö2 = Ö2

Ö2   Ö2 . Ö2     2

 

 

2.      Paydada Öa + Öb varsa:

Pay ve paydayı Öa - Öb ile çarparız.

 

Örnek:    5      = 5 . (2 - Ö3)       .

2+Ö3                    (2+Ö3) . (2 - Ö3)

 

= 5 . (2- Ö3)

22 – (Ö3)2

 

= 10 - 5Ö3 = 10 - 5Ö3

4-3

 

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar (2)

.

->Yazan   : burak
->Yorumu: hocam bana modüler aritmetik konusunu dönem ödevi olarak verdi ben bu sayfayı yazsam tamam olur.

>Yazan: esra
>Yorum:
çok açik ve güzel anlatilmis elinize saglik .

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz: