eðitim öðretim ile ilgili belgeler > konu anlatýmlý dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatýmlar

KARTEZYEN ÇARPIM, KARTEZYEN BAÐINTI, KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLÝKLERÝ, KARTEZYEN BAÐINTININ ÖZELLÝKLERÝ (1) ÝLE ÝLGÝLÝ KONU ANLATIMLAR (MATEMATÝK DERSÝ ÝLE ÝLGÝLÝ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Kartezyen çarpým :

Ýlk elemaný birinci kümeden , ikinci elemaný ikinci kümeden gelen ikililerin oluþturduðu kümeye denir.

Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise

AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.

BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} þeklinde yazýlýr.

Örnekte görüldüðü gibi

( kartezyen çarpým iþleminde deðiþme özelliði yoktur ).

Yine örnekte görüldüðü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemaný vardýr. AxB kümesinin eleman sayýsý ise 6‘dýr. Böyle olmasý tesadüf deðildir.

Çünkü kartezyen çarpým kümesinin eleman sayýsý ; kartezyen çarpýmý oluþturan kümelerin eleman sayýlarýnýn çarpýmýna eþittir.

Ayný sebeple BxA kümesinin eleman sayýsý da 6 ‘dýr. Yani kartezyen çarpým iþleminde deðiþme özelliði olmamasýna karþýlýk her kümenin eleman sayýlarý eþittir ( Denk kümeler ).

( kartezyen çarpým iþleminde deðiþme özelliði yoktur )

s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )

BAÐINTI

Kartezyen çarpým kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eðer baðýntý, AxB ‘nin alt kümesi ise o baðýntýya A’dan B’ye bir baðýntý denir. Buradaki birinci küme, baðýntýnýn taným kümesi ; ikinci küme ise baðýntýnýn deðer kümesi olarak adlandýrýlýr.

“n” elemanlý bir kümenin tüm baðýntýlarýnýn sayýsý 2ⁿ olduðundan dolayý A’dan B’ye yazýlabilecek tüm baðýntýlarýn sayýsý da 2^s(A)s(B) ‘ dir.

Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazýlabilecek tüm baðýntýlarýn sayýsý 2²⁰ olur. Tabii ki ayný þekilde B’den A’ya yazýlabilecek tüm baðýntýlarýn sayýsý da 2²⁰ ‘dir.

Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir baðýntý tanýmlayalým :

 ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi þöyle olur :

 : A  B olmak üzere tanýmlanmýþ baðýntýnýn taným kümesi A,

deðer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.

NOT :  : A  B ( A’dan B’ye bir baðýntýdýr diye okunur)

C =  (A) = { (1),  (2),  (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman deðer kümesi ile ayný anlama gelmeyebilir.

Örnek 4 : s(A) = 4 olduðuna göre A’ dan A’ya yazýlabilecek baðýntýlarýn kaç tanesi 3 elemanlýdýr ?

Çözüm : s(AxA) = 16 olduðundan ve 16 elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt kümelerinin sayýsý

 

olur.

 

Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanýmlanan

 ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} baðýntýsýný grafik ile gösteriniz :

Çözüm :

Baðýntýlarýn özellikleri :

1.  Yansýma özelliði : Bir A kümesi üzerinde tanýmlanan baðýntý , A kümesinin tüm elemanlarý için yazýlabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansýyandýr.

2.  Simetri özelliði : Bir baðýntý, (x,y) ikilisini içerirken ayný anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.

3.  Ters simetri özelliði : Bir baðýntý, (x,y) ikilisini içerirken ayný anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.

4.  Geçiþme özelliði : Bir baðýntý, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken ayný anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçiþkendir.

Baðýntý çeþitleri :

1.  Denklik baðýntýsý : Bir baðýntý ; yansýma, simetri ve geçiþme özelliklerine sahipse o baðýntýya denklik baðýntýsý denir.

2.  Sýralama baðýntýsý : Bir baðýntý ; yansýma, ters simetri ve geçiþme özelliklerine sahipse o baðýntýya sýralama baðýntýsý denir.

Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanýmlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} baðýntýsýnýn özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

A kümesinin tüm elemanlarý için (x,x) ikililerini içerdiði için yansýyan,

(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediðinden ters simetrik,

(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduðundan geçiþkendir.

Bu 3 özelliðin sonucu olarak da sýralama baðýntýsýdýr.

 

Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanýmlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} baðýntýsýnýn özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

A kümesinin tüm elemanlarý için (x,x) ikililerini içerdiði için yansýyan,

(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiðinden simetrik,

(2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduðundan geçiþkendir.

Bu 3 özelliðin sonucu olarak da denklik baðýntýsýdýr.

 

Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanýmlanan

 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} baðýntýsýnýn özelliklerini inceleyelim :

Çözüm : Yansýyan, simetrik, ters simetrik ve geçiþkendir.

Tüm özellikleri saðlamasýnýn sonucu olarak da hem denklik hem de sýralama baðýntýsýdýr.

Bir baðýntý ayný anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.

 

Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanýmlanan  bilgiyelpazesi.com

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} baðýntýsýnýn özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

(3,3) ikilisini içermediði için yansýyan deðil ;

(1,3) ikilisinin tersi olmadýðý için simetrik deðil ;

ayný anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiði için ters simetrik deðil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadýðýndan dolayý da geçiþken deðildir.

Bir baðýntý ayný anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.

 

Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanýmlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} baðýntýsýnýn özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

(3,3) ve (4,4) ikililerini içermediði için yansýyan deðil ;fakat simetrik ve geçiþkendir.

 : A  A ve s(A) = n olmak üzere

Tanýmlanabilen baðýntý sayýsý ;

Tanýmlanabilen yansýyan baðýntý sayýsý  ;

Tanýmlanabilen simetrik baðýntý sayýsý ‘ dir.

 

“MATEMATÝK DERSÝ ÝLE ÝLGÝLÝ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERÝ DÖNMEK ÝÇÝN

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATÝK DERSÝ ÝLE ÝLGÝLÝ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK ÝSTERSENÝZ

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATÝK DERSÝ ÝLE ÝLGÝLÝ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK ÝSTERSENÝZ

>>>TIKLAYIN<<<