Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ, FORMÜLLERİ, ÇÖZÜMLERİ, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

İşçi ve havuz problemlerinin genelinin çözüm mantığında birim zamanda yapılan ise bakmak yatar. Çünkü olayda ters orantı vardır.

Yani, sen bir isi 12 günde yapabiliyorsan, ben ise aynı isi 6 günde yapabiliyorsam, ikimiz el ele verirsek, bu isi 12 + 6 = 18 günde bitiririz diyemeyiz.

Bir elin nesi var, iki elin sesi var! Onu da hesaba katmak lazım…

Mantığımız da öyle söyler zaten. Nasıl olur da iki kisi birlikte çalısınca tek kisiye göre süre uzayabilir ki?

İste bunun için, aynı zamanda sen ne kadar is yapabiliyorsun, ben ne kadar is yapabiliyorum, bunu bulmamız gerekir.

İkimizin yaptığı isleri topladıktan sonra da bu kadar isi bu kadar zamanda yapmıssak, su kadar isi de su kadar zamanda yapabiliriz diye bir orantı kurmamız lazım. Hatta bu orantı doğru orantı olmalı, çünkü ne kadar çok çalısırsak, o kadar çok is yapmamız gerekir.

Simdi yukardaki soruyu bir güzel çözelim, siz de söylenilenlerin nasıl hayata geçirildiğine bir güzel dikkat edin.

Örneğin, öyle bir is var ki sen bu isi yalnız basına ancak 12 günde bitirebiliyorsun, ben ise yalnız basıma 6 günde.

O halde sen her gün bu isin

1/12’sini yapabilirsin, ben de her gün 1/6’sını yapabilirim.

1/12 + 1/6 = 1/4 olduğundan 1 günde ikimiz birlikte bu isin ancak dörtte birini yapabiliriz.

Simdi de 1/4’ünü 1 günde yapabiliyorsak

1/1’ini (yani tamamını) kaç günde yapabiliriz diye bir doğru orantı kuracağız.

Buradan da sonuç 4 çıkacaktır.

Hatta bunu genelleyip formülünü bile çıkartabiliriz:

İki kisinin ayrı ayrı bir isi bitirebilme sürelerinin çarpımını, o sürelerin toplamına bölerseniz, bu isi birlikte kaç günde bitirebileceğinizi bulursunuz.

Yani;

Baska çözüm teknikleri de var elbet! Ama yukarda verdiğimiz çözüm çogu soru tiplerinde basımızı dertten kurtarır.

Biz yine de farklı bir çözüm daha sunalım:

Sen bu isi 12 günde, bense 6 günde bitirebiliyorsam (ki bu da benim senden güçlü olduğumu gösterir), demek ki ben senin 2 katınım.

O halde benle sen birlesince 3 tane ‘’sen’’den oluyor!

Sen bu isi 12 günde bitirebiliyorsan 3 tane sen, 4 günde bitirir.

Bu yol iyi, güzel fakat bazen 3 tane ben, 4 tane sana esit olur ki altından kalkmak zor olur!

Neyse, genel hatlarıyla bu tarz problemleri anladık farz ediyorum.

Bazen birinin daha is bitmemisken hastalanacağı tutar, ya da bir isi çıkar. Sizin ödev yapmadan geldiğiniz günlerde bana söyledikleriniz gibi yani.

Veya isin bitmeyeceğinden korkularak bir baskasından yardım istenir. Veya yavas çalısan adama birden sevk gelir, hızlı çalısmaya baslar.

Buna ilerde ‘kapasitesini arttırma’ diyerek örnekler vereceğiz.

Anlayacağınız bu gibi durumlarda, is ne kadar zamanda biter, isin bitmesi ne kadar gecikir, eğer erken biterse ne kadar erken biter gibi sorulara cevap istenir.

Bu tarz problemleri de örgenince isçi problemleri ufak ufak problem olmaktan çıkacaktır.

Simdi bahsi geçen aksilikleri nasıl çözeceğimizi ögrenelim.

Yalnız unutmadan belirtelim ki (musluklar bosaltan olmadığı sürece) her musluğu bir isçi gibi düsünebilirsiniz, yani burada anlatacaklarımız aynen havuz problemlerinde de geçerli olacak. Bosaltan muslukları ise ilerde detaylı olarak isleriz.

Soru 1.

Bir isin/havuzun tamamını sırasıyla tek baslarına a, b, c günde bitirebilen/ doldurabilen A, B, C isçileri/muslukları sırasıyla x, y, z gün çalısırlarsa/akarlarsa, isin/havuzun ne kadarı bitmis/dolmus olur?

Çözüm:

Böyle bir soruda ilk basta basrol oyuncularının (bunlar isçi de olabilir, musluk da) kaçar gün çalıstıklarını kenara (bilgi yelpazesi.net) not edeceğiz.

Bu soruda zaten bu x, y, z olarak verilmis.

Ama dediğim gibi 2 gün sonra B isçisi ayrıldı, onun yerine C isçisi girdi (veya B musluğu kapatılıp onun yerine C musluğu açıldı) filan deseydi, her kisinin/musluğun ayrı ayrı kaçar gün çalıstıını hesaplamak bize düsecekti.

A isçisi isin tamamını a günde bitiriyorsa 1 günde isin

’sını yapar. E, x gün çalısmıs.

O halde x günde

’sını yapar diyeceğiz.

Benzer sekilde diger isçiler de y/b’sini ve z/c’sini yaptığından isin

(x/a) + (y/b) + (z/c)

’si yapılmıs olur.

Abartmayalım ama, bu çözüm mantığı isçi ve havuz problemlerinin %70’ini çözmeye yeter.

Konunun bundan sonraki kısımlarını soru-çözüm seklinde vereceğim.

Lütfen bu örnek soru çözümleri erkekler maç sonrası yorumlarını, kızlar da moda dergisini okuyormus gibi okusun! :))))

Soru 2.

Mustafa bir isi tek basına a günde, İmran ise aynı isin 3 katını b günde yapabiliyor.

İkisi birlikte bu isin tamamını kaç günde yapabilirler?

Çözüm:

Mustafa bu isi tek basına a günde, İmran ise bu isi tek basına b/3 günde yapıyormus.

Bulduğumuz bu değerleri formülümüzde yerine koyalım.

İkisi birlikte

günde bitirirler.

Soru 3.

Burçin arkadası Sadık’la birlikte bir isin %10’unu yapıyor. Daha sonra tek basına 3 gün çalısarak kalan kısmın 1/3’ünü yapıyor. Burçin bu isin tamamını kaç günde yapabilir?

Çözüm:

Birlikte isin %10’unu yani 1/10’unu yapmıslar. Geriye isin 9/10’u kalır.

Burçin bu 9/10’luk 1/3’ünü yani 3/10’luk isi 3 günde yaptığına göre tamamını tek basına 10 günde yapar.

Soru 4.

Üç isçi bir isi tek baslarına sırayla a, b, c günde bitirebilmektedirler.

Üçü birlikte 6 günde bitirdiklerine ve a > b > c olduğuna göre asağıdakilerden hangisi a’nın alabileceği değerlerin aralığını bulunuz?

Çözüm:

Bir an için üç isçiyi esit güçte kabul edelim.

Üçü birlikte bu isi 6 günde yapıyorlarsa, her biri tek basına 18’er günde yapıyorlar demektir.

Ama bu üç isçi esit güçte değillermis.

a > b > c olduğuna göre bu isi a günde bitiren üçünden en yavas olanıdır. Çünkü en uzun sürede bitiriyor.

Digerleri ile esit güçte saydığımızda bile 18 günde bitiriyorsa, aslında 18 günden fazla günde bitiriyormus denilebilir.

Soru 5.

Harun’un çalısma hızı Enver’in çalımsa hızının 2 katıdır. Harun ise basladıktan 2 gün sonra Enver ise baslıyor. Kalan isi ikisi birlikte 4 günde bitiriyor.

Buna göre Enver bu isi tek basına kaç günde bitirir?

Çözüm:

Harun daha hızlı olduğundan Harun bu isi a günde bitiriyorsa, Enver 2a günde bitirebilir.

Harun toplam olarak 6 gün, Enver ise 4 gün çalısıyor.

olduğundan a = 8’dir.

O halde Enver bu isi tek basına 2a = 16 günde bitirebilir.

Soru 6.

Bir isi usta tek basına 20 günde, çırak ise tek basına 50 günde bitirebiliyor.

1 usta ile 10 çırak aynı isi birlikte kaç günde bitirirler?

Çözüm:

İsi bitirme süresi ile kapasite ters orantılı olduğundan 20 usta, 50 çırağa bedelmis demeliyiz.

Yani 1 usta 2,5 tane çırak eder. O halde 10 çırak 4 usta demektir.

Bu durumda 1 usta ile 10 çırak yerine 5 usta alabiliriz. 1 usta bu isi 20 günde bitiriyorsa 5 usta toplam 4 günde bitirir.

Soru 7.

Herkesin esit is yaptığı bir isçi grubuna 30 günlük is verilmistir. İsçilerin 5’i daha is baslamadan ayrılıyor.

Kalan isçiler, isi bu yüzden 45 günde bitirdiklerine göre baslangıçtaki grup kaç kisiydi?

Çözüm:

x kisinin 30 günde yapacağı isi (x – 5) kisi 45 günde yapmıs.

Adam sayısı ile isi bitirme süresi ters orantılıdır.

Bu yüzden

x.30 = (x – 5).45

denklemi kurulur ve buradan x = 15 olarak bulunur.

Soru 8.

Bir isyerinde isçi sayısı yarıya düsürülür, günlük çalısma süresi 5 katına çıkarılır ve is miktarı 2 kat arttırılırsa isi bitirme süresi kaç katına çıkar?

Çözüm:

İsçi sayısı ile isi bitirme süresi ters orantılıdır.

İsçi sayısı yarıya düsürülünce süre 2 katına çıkar. Günlük çalısma süresi 5 katına çıkarıldığından, süre 1/5’ine düser.

İs miktarı 2 kat arttırıldığından yani 3 katına çıktığından süre de 3 katına çıkar. Simdi bulunan bu sonuçları süreye uygulayacağız.

Hiç bir sey değismeseydi, isin bitme süresi t olurdu diyelim.

Simdi ((2t)/5).3 = 6t/5 oldu yani 6/5 katına çıktı.

Soru 9.

İs güçleri aynı 9 isçi birlikte bir ise baslıyorlar. Her gün 1 isçi isten çıkarak, is 4 günde tamamlanıyor.

Eğer her gün 1 isçi çıkacağına, her gün 1 isçi bunlara katılsaydı is kaç günde biterdi?

Çözüm:

Bu isçilerden bir tanesinin bir günde x birimlik is yapabildiğini farzedelim.

İlk gün 9 isçi çalıstığından 9x birimlik is yapılır, ikinci gün 8x, üçüncü gün 7x ve dördüncü gün 6x.

Demek ki, isin tamamı 9x + 8x + 7x + 6x = 30x birimlikmis.

Eğer her gün biri eklenseydi, aynı is 3 günde biterdi, çünkü 9x + 10x + 11x = 30x olur.

Soru 10.

X bir isi x günde, X ile Y birlikte b günde yapabilmektedirler. X tek basına 3 gün çalıstıktan sonra kalan isi Y tek basına t günde bitiriyorsa, t kaçtır?

Çözüm:

Y bu isi tek basına y günde bitirebilir diyelim.

İki farklı denklem elde edilir.

Bize t’yi x ve b cinsinden sorduğundan y’yi yok etmek amacıyla, ilk denklemi t ile çarpıp bundan ikincisini çıkartalım.

bt – 3b = xt – bx olduğundan bt – xt = 3b – bx olur ki buradan

bulunur.

Soru 11.

İki musluktan birincisi bir havuzu tek basına a saatte, ikincisi ise aynı havuzun 3 katı büyüklükte baska bir havuzu b saatte (bilgi yelpazesi.net) doldurabiliyor.

İkisi birlikte küçük havuzu kaç saatte doldurabilirler?

Çözüm:

İlk musluk bu havuzu tek basına a saatte, ikincisi ise tek basına b/3 saatte doldurabiliyormus.

Bulduğumuz bu değerleri formülümüzde yerine koyalım.

İkisi birlikte

saatte doldurabilirler.

Soru 12.

Bir musluk bir havuzu tek basına 4 saatte doldururken, havuzun dibinde bu havuzun tamamını tek basına 12 saatte bosaltabilen bir musluk vardır. %ki musluk birlikte açılırsa bos havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

Dolduran musluk 1 saatte havuzun 1/4’ünü doldurur.

Bosaltan ise 1 saatte 1/12’sini  bosaltır.

O halde 1 saatte havuzun

’sı dolar.

6’da 1’i 1 saatte doluyorsa, 6’da 6’sı yani tamamı 6 saatte dolar.

Soru 13.

A musluğu havuzun tamamını 6 saatte doldurabilmektedir. Havuzun yüksekliğinin yarısında ise bu havuzun tamamını 12 saatte bosaltabilen bir musluk bulunmaktadır.

Havuz bosken iki musluk da birlikte açılırsa, havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

Havuzdaki su seviyesi yarıya gelinceye kadar A musluğu tek basına çalısır.

B musluğu açık olsa da bosaltacak su bulamaz.

O halde A musluğu tamamını 6 saatte doldurabildiğinden yarısına kadar 3 saatte doldurur. Artık ikisi birlikte çalısmaya baslar.

İkisinin birlikte bu havuzun tamamını kaç saatte doldurabileceklerini bulacağız.

Daha sonra sadece yarısında ikisi birlikte çalısacağından bulduğumuzun yarısını alıp 3’e ekleyeceğiz.

olduğundan ikisi birlikte bu havuzu 12 saatte doldurabilirlermis.

O halde kalan yarısı doldurabilmeleri için 6 saat gerek.

Bu yüzden cevap 3 + 6 = 9.

Soru 14.

Bir havuzu bir musluk 6 saatte doldurabilirken diger bir musluk da aynı havuzu doluyken tek basına 8 saatte bosaltabilmektedir. Havuz dolmaya basladıktan 2 saat sonra bosaltan musluğun açık olduğu farkediliyor ve kapatılıyor.

Buna göre havuzun dolması ne kadar gecikmistir?

Çözüm:

Gecikme niye oldu?

Bosaltan musluk açık unutuldu diye! 2 saat boyunca dolduran musluğun doldurduklarından bosalttığı için yani.

Yani dolduran musluk durduk yere fazla çalıstı.

Peki ne kadar fazladan doldurmak zorunda kaldı?

Bosaltanın bosalttığı kadar. Bosaltan musluk 1 saatte havuzun 1/8’ini bosalttığından, 2 saatte havuzun 1/4’ünü bosaltmıstır.

O halde dolduran musluk havuzun 1/4’ünü dolduracak kadar fazladan çalıstı.

Tamamını 6 saatte doldurduğundan 1/4'üne fazladan 1,5 saat çalısmıstır.

Dolayısıyla 1,5 saatlik bir gecikme olmustur.

Soru 15.

Bir havuzu tek baslarına iki musluk sırasıyla 24 ve 30 saatte doldurabiliyor. Üçüncü bir musluk da bu havuzu bosaltıyor. Üç musluk aynı anda havuz bosken açılırsa havuz 10 saatte yarısına kadar doluyor.

Üçüncü musluk havuzu, tamamı doluyken kaç saatte bosaltır?

Çözüm:

Yarısına kadar 10 saatte doluyorsa tamamı 20 saatte dolar. Bosaltan musluğun havuzun tamamını x saatte bosalttığını farzedelim.

O halde;

esitliği geçerlidir.

Buradan x = 40 bulunur.

Soru 16.

Bir havuzu 12 saatte doldurabilen bir musluğun kapasitesi %50 arttırılırsa, aynı havuzu kaç saatte doldurur?

Çözüm:

Kapasite artısı ile dolma süresi ters orantılıdır.

100 kapasite ile akarken 12 saatte doluyorsa 150 kapasite ile akarken kaç saatte dolar diye bir ters orantı kuracağız.

100.12 = 150.x esitliğinden x = 8 olur.

Soru 17.

Bir havuzu dolduran üç musluk var. A ile B muslukları birlikte bu havuzu 8 saatte, B ile C muslukları birlikte aynı havuzu 10 saatte, A ile C muslukları da birlikte 12 saatte doldurabilmektedir.

Havuz bosken üçü birlikte açılırsa, havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

A, B, C musluklarının bu havuzu tek baslarına doldurma sürelerine sırasıyla a, b, c diyelim.

esitlikleri taraf tarafa toplanırsa, üçünün birlikte 240/37 saatte doldurabilecekleri görülür.

Bu soruda her bir musluğun ayrı ayrı bu havuzu tek baslarına kaç saatte doldurabilecekleri de sorulabilirdi.

Taraf tarafa topladığımızda elde ettiğimiz formülde yukardaki üç esitlikten istediğimizi yerine yazarak her birini ayrı ayrı bulabiliriz.

Soru 18.

Yukarıdaki sekilde görülen havuzun dibindeki B musluğu ve yarısındaki A musluğu özdestir.

Muslukların ikisi birlikte açıkken dolu havuz 12 saatte bosalıyorsa, B musluğu tek basına bu havuzu kaç saatte bosaltır?

Çözüm:

Havuzun alt yarısında tek musluk çalısırken, üst yarısında iki musluk çalısmaktadır.

O halde (bilgi yelpazesi.net) üst yarısı t saatte bosalıyorsa, alt yarısı 2t saatte bosalır. t + 2t = 3t = 12 olduğundan t = 4 olur.

B musluğu alt yarısını 8 saatte bosaltıyormus, o halde tamamını 16 saatte bosaltabilir.

Soru 19.

Bir havuzu tek basına a saatte doldurabilen bir musluktan %40’lık tuzlu-su karısımı akmaktadır. Aynı havuzu 3a saatte doldurabilen musluktan da %60’lık tuzlu-su karısımı akmaktadır.

Bu iki musluk birlikte akarak bir havuzu doldururlarsa, havuzdaki karısımın yüzde kaçı tuz olur?

Çözüm:

Havuzun hacmi 100 olsun. 75’ini ilk musluk, 25’ini ikinci musluk doldurur.

75(%40) + 25(%60) = 30 + 15 = 45

tuz olur ki bu da karısımın %45 olduğunu gösterir.