eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER, DENKLEM ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

 TANIMLAR:

 

a, b, c Î R  ve  a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 

Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.

 

Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.

 

Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

 

 

UYARI

 

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

 

İlk olarak ax2 + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   3x2 – 5x = 0                   2.   x2 – x – 6 = 0                   3.   2x2 + x – 1 = 0

 

ÇÖZÜMLER :

3x2 – 5x = 0                           2.   x2 - x - 6 = 0                         3.   2x2 + x - 1 = 0

x . (3x – 5) = 0                            (x - 3) . ( x + 2) = 0                    (x + 1) . (2x - 1) = 0

x = 0   V   3x – 5 = 0                   x - 3 = 0   V   x + 2 = 0               x + 1 = 0   V   2x - 1 = 0

 

 

ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

 

ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

 

(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).

Bu kökler gerçel sayı ise b2 - 4ac ³ 0 olması gerekir.

 

 

TANIM :

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b2 - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

 

Denklemin kökleri ise

formülleri ile bulunur.

 

Bu kökler kısaca,

biçiminde yazılır.

 

İrdeleme: ax2 + bx + c = 0 denkleminde  D = b2 - 4ac iken

 

1.   D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

 

Bunlar

dır.

 

UYARI

a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır.

 

2.   D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

D = 0 olduğundan (ax2 + bx + c) ifadesi tamkare olur.

 

3.   D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

 

 

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir.

Bu durumda, D = (b)2 - ac

 

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1.   x2 + 3x - 1 = 0               2.   2x2 - 3x + 10 = 0               3.   x2 - 2

 

ÇÖZÜMLER :

1. x2 + 3x - 1 = 0                                              2.   2x2 - 3x + 10 = 0

a = 1,   b = 3,   c = -1                                         a = 2, b = - 3, c= 10

D = (3)2 - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13                       D = (-3)2 - 4.2.10 = 9 - 80 = -71

D < 0 olduğundan Ç = Æ dir.

 

 

 

 

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

 

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

 

P(x).Q(x) = 0  Û  P(x) = 0   V   Q(x)   = 0

 

 

ÖRNEKLER:

1.   2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0                                           2.   3(x - 4)2 - 48 = 0

x2 (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0                                               3[(x - 4)2 - 16] = 0 Þ (x - 4)2 - 42 = 0

(2x + 3) (x2 - 9) = 0                                                          (x - 4) - 4 = 0   V   (x - 4) + 4 = 0

(2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0                                                      x - 8 = 0                         x = 0

2x + 3 = 0   V   x - 3 = 0   V   x + 3 = 0                                           x = 8

 

 

RASYONEL DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 

 

 

YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

 

ÖRNEK:   x6 + 26x3 - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x3 = t olsun x6 = (x3)2 = t2 olur.

Buradan denklem

t2 + 26t - 27 = 0  biçimine dönüşür.

Þ (t + 27) . (t - 1) = 0

t + 27 = 0   V   t - 1 = 0

t = -27      t = 1

x3 = -27     x3 = 1

x = -3           x = 1

Ç = {-3,1}

 

 

KÖKLÜ DENKLEMLER

 

n Î N+ ve P(x)  Π R[x]  olmak üzere

 

 

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1.          Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.

2.          Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.

3.          Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 eşitliğinin sağlanması için,

x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³ 0  Þ x ³ -4 olmalıdır.

x + 6 = x2 + 8x + 16 Þ x2 + 7x + 10 = 0

(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5   V   x = -2

Þ Ç = {-2}

 

 

ÜSLÜ DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 dır.

(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0   V   x - 2 = 0

Þ x = -3              x = 2

Ç = {-2, 3}

 

 

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

 

Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.

n Î N+

 

ÖRNEK:

x2 - |x|- 2 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - |x| - 2 = 0

Þ         x2 - (-x) - 2 = 0

Þ         x2 + x - 2 = 0

Þ         (x + 2) . (x - 1) = 0

x = -2        x = 1

Ç1 = {-2}

x ³ 0 Þ |x| = x dir.

Þ         x2 - x - 2 = 0

(x - 2)  (x + 1) = 0

x = 2   V   x = -1

Ç2 = {2}

Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç1 È Ç2 dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur.

 

 

DENKLEM SİSTEMLERİ

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

x + y = 20   Þ   y = 20 - x,   x .y = 64   Þ   x . (20 - x) = 64

20x - x2 = 64   Þ   x2 - 20x + 64 = 0

Þ   (x - 16) (x - 4) = 0,            x1 = 16   V   x2 = 4

Þ   y1 = 20 - 16       Þ y2 = 20 - 4

y1 = 4                      y2 = 16

Ç = {(16, 4) , (4, 16)}

 

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

PAREMETRELİ DENKLEMLER

 

İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir. bilgi yelpazesi.com

 

Örneğin; mx2 - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 - (a - b)x + a . b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

 

ÖRNEK:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0

x = -1 için (m - 3) (-1)2 - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0

m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0

6m = 6   Þ   m = 1

 

 

ÖRNEK:

mx2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

 

ÇÖZÜM:

x1 = x2 ise D = 0 olmalıdır.

Þ   (b)2 - ac = 0   D   [ - (m - 1)]2 - m(m - 5) = 0

 

UYARI

İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

3 / 2x2 - (n - 1)x - m + 6 = 0

2 / 3x2 - 2x + 2m - 1 = 0

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı   D = b2 - 4ac ve kökleri

idi.

 

 

 

UYARI

Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

 

ÖRNEK:

2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

x12 + x22 = 4 ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

Denklemde a = 2,   b = -4,   c = m - 3 dür.

16 - 4m + 12 = 16

m = 3

 

 

ÖRNEK:

2x2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır? bilgi yelpazesi.com

 

ÇÖZÜM:

Denklemin kökleri x1, x2 olsun.

İstenen bağıntı (x1 - 3) . (x2 - 3) dür.

Buna göre;

(x1 - 3) . (x2 - 3) = x1x2 - 3x1 - 3x2 + 9

 

 

 

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK

 

Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x1) . (x - x2) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 denklemi elde edilir.

 

ÖRNEK:

Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 Þ x2 - (-1) . x + (-6) = 0

Þ x2 + x - 6 = 0 dır.

 

ÖRNEK:

Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:

 

UYARI

a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü

 dur.

 

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.......

41. **Yorum**
->Yorumu: Ne kadarda çok ödevde veriyorlar
->Yazan: seçil

40. **Yorum**
->Yorumu: Çok Teşekkürler. Sayenizde PROJE Ödevimi Yaptım. Allah (C.C)Razı Olsun Tekrardan
->Yazan: Baykal...

39. **Yorum**
->Yorumu: bu konu cok işime yaradı bunu koydugunuz icn tesekur ederi
->Yazan: ökkes akkılı...

38. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel olmuş teşekkür 
->Yazan: melike

37. **Yorum**
->Yorumu: Allah razı olsun işime yaradı :) 
->Yazan: Selçuk Müslüm

36. **Yorum**
->Yorumu: projeye yardımcı oldunuz saolun 
->Yazan: Furkan.....

35. **Yorum**
->Yorumu: allah emeği geçenlerin hepsinden razı olsun sayenizde 100 aldm yani :D 
->Yazan: s

34. **Yorum**
->Yorumu: TEŞEKÜRLER BUNU ANLATIĞINIZ İÇİN VALLA PROJE GÖREVİMDİ........ 
->Yazan: selman

33. **Yorum**
->Yorumu: vala çok guzel olmuş çok iyi anladım teşekürler 
->Yazan: selman......

32. **Yorum**
->Yorumu: Valla perfonmas ödevimdi buradan yaptim cok tsk ederim
->Yazan: Şahin Erözcan

31. **Yorum**
->Yorumu: GÜZEEEL İNŞ 100 ALCAM 
->Yazan: ENGİN ALTTAN

30. **Yorum**
->Yorumu: Çok teşekkür ederim sağolun
->Yazan: elif

29. **Yorum**
->Yorumu: cok saolun proje ödevime cok yardımcı oldunuz 
->Yazan: mehmet

28. **Yorum**
->Yorumu: bence güzel olmuş bu benim proje ödevim , umarım bu bilgiler işime yarar ve sınavlarda falan karşıma çıkarsa yapabilirim . hazırlayan emeği geçen, bu siteden yararlanan ve yararlanacak herkese teşekkür ederim 
->Yazan: nihalberre 

27. **Yorum**
->Yorumu: cok ıyı hazrlnmıs saolun.yardmnz ıcn.. bı unıversıteli olarak.
->Yazan: irem

26. **Yorum**
->Yorumu: GERÇEKTEN MÜTHİŞ OLMUŞ HAZIRLAYANIN VE EMEĞİ GEÇEN HERKESİN ELİNE SAĞLIKK....
->Yazan: EBRULİLİİLİLİLİLİ

25. **Yorum**
->Yorumu: çok teşekkürler , hazırlayanın eline sağlık dönem ödevim hazırdır :)
->Yazan: deniz.

24. **Yorum**
->Yorumu: güzel olmuş anlatımı çok teşekkürler 
->Yazan: ayşegü..

23. **Yorum**
->Yorumu: Çok Teşekkürler sayenizde proje ödevimi yapabildim 
->Yazan: Polat.

22. **Yorum**
->Yorumu: Bu konuların Hepsi 2.Dereceden Denklemi İçeriyo Dimi :D
->Yazan: MERT.

21. **Yorum**
->Yorumu: Çok Teşekkürler :D Çok İyi Anladım Hazırlayanın Ellerine Sağlık :D
->Yazan: LaCHuNDeR.

20. **Yorum**
->Yorumu: Cok super anlatmisiniz gamsammida 
->Yazan: yaprak bilgin..

19. **Yorum**
->Yorumu: gerçekten çok saolun sayenizde ödevimi yapcam tenksler :) :) :) :)
->Yazan: berkay .

18. **Yorum**
->Yorumu: çok teşekkür ederim sayenizde 30 soru ödevim bitti :)
->Yazan: nupelda..

17. **Yorum**
->Yorumu: proje ödevime yardımcı oldunuz çok teşekkür ederim <33
->Yazan: kadir tan ..

16. **Yorum**
->Yorumu: teşekkürler yazdığınız için yoksa dönem ödevinin son akşamıydı
->Yazan: rıdvan.
->Yazan : ilayda
->Yorumu:  yıllık ödevimde bana yardımcı olduğunuz için teşekkür ederim....
->Yazan : ilhan
->Yorumu: çok sagolun  valla  çok güzel olmus  ellerinize  saglik.
->Yazan : kazim
->Yorumu: çok güzel konular ya kim koyduysa çokk tesekkürler.
->Yazan : Tamer
->Yorumu: Çok tesekkürler 2.sinava sayenizde iyi hazirlandim.Ellerinize saglik.Tesekkürler !.
->Yazan : bilmiyorum bu soruyu
->Yorumu: iki bölü üç(x-1)-bir bölü alti (2x-3)=0 denklemin çözüm kümesi nedir ?.
->Yazan : tülay
->Yorumu: çok thanks ;) sayenizde dönm ödevimi tammlayarak 95 aldim....
->Yazan : Sefa
->Yorumu: gerçekten çok mükemmel bir site, yillik ödevim sayenizde çok iyi oldu tesekkürler ....
->Yazan : abdullah y.
->Yorumu: çok saolun emeginize saglik son 2 gün ve burdan yapiyorum tsk.
->Yazan : özge
->Yorumu: çok saolun dönem ödevimi hazirladim bu bilgiler sayesinde :)).
->Yazan : TUGÇE
->Yorumu: YILLIK ÖDEVIM ÇIKTI ÇOK SÜPER ANLATILMIS TENKS:).
->Yazan : Adem
->Yorumu: Tesekur Ederim Sayenizde Donem Odevin Hzirlicam Emeginize Saglik.
>Yazan: burak
>Yorum: mükemmel . dönem ödevimi nerden bulucam derken bu sayfa harika oldu. çok saolun.
>Yazan: melike
>Yorum: tskkürler sayenizde dönm ödewimi hazirladim çok saolunn.
>Yazan: sabri dogan
>Yorum: çok güzel anlatmissiniz tesekkür ederim.
>Yazan: TUGÇE
>Yorum: ÇOK TEŞEKKÜR EDERİM BU KONUYU BURAYA KOYDUĞUNUZ İÇİN

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz: