Bilgiyelpazesi Net ÜYELİKSİZ BEDAVA BİLGİ KAYNAĞI Konu Anlatımlar, Test Soruları, Yazılı Soruları
SİTEDEKİ
KİŞİ SAYISI
  Bilgiyelpazesi Net Ana Foto  
Eğitim Öğretim Tüm Konular
Tiyatro Oyunları, Skeçler, Piyesler
Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri
Kitap Özetleri
Belirli Gün ve Haftalar İle İlgili Tüm Belgeler
Konu Anlatımlı Dersler
İlahiler, İlahi Sözleri
Rehberlik Köşesi Belgeler, Araştırmalar, Yazılar
Roman Özetleri
Soru Bankası, Test Soruları
Yazarların, Şairlerin Hayatı, Eserleri / Kitapları, Edebi Kişilikleri
Yazılı Soruları - Yazılı Arşivi
Atasözleri ve Özellikleri
Belirli Gün ve Haftalar İle İlgili Tüm Belgeler
Coğrafya Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi İle İlgili Yazılılar, Testler
Çeşitli Yazılar, Oradan Buradan
Çocuk Eğitimi
Çocuk Oyunları, Oyunlar
Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri
Dede Korkut Hikayeleri, Özetleri, Özellikleri
Destan, Destanlarımız Ve Özellikleri
Dil İle Kültür Arasındaki İlişki, Dil Nedir, Kültür Nedir
Edebiyat Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Eğitim Bilimleri Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test Soruları
Enler Bölüm Bölüm
Fen ve Teknoloji Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Gelişim Ve Öğrenme Psikolojisi Dersi Konu Anlatımlar, Testler
Güzel Sözlerden Seçmeler, Özdeyişler, Vecizeler
Hazır Cevaplar
Hikayelerden Seçmeler
İllerimiz Ve İlçelerimiz Özellikleri Türkiye Tanıtımı
İlginç Ve Eğlenceli Bilgiler
İlkler Bölüm Bölüm
İngilizce Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
İnkılap Tarihi Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
İsimler Ve Anlamları
Karne Bilgileri Öğretmen Görüşü Örnekleri
Kitap Özetleri
Konu Anlatımlı Dersler
Masallardan Seçmeler
Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Muhasebe Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Ninni Ninni Ninniler, Ninnilerden Seçmeler
Pratik Bilgiler
Rehberlik Köşesi Belgeler, Araştırmalar, Yazılar
Roman Özetleri
Sayışmaca - Sayışmacalar, Sayışmacalardan Seçmeler
Sizin Gönderdikleriniz
Soru Bankası, Test Soruları
Sözlük Türkçe - İngilizce - Almanca
Şiir Koleksiyonu - Seçme Güzel Şiirler
Tarih Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
TC İnkılap Tarihi Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Tekerleme - Tekerlemeler, Tekerlemelerden Seçmeler
Tiyatro Oyunları, Skeçler , Piyesler
Türkçe Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar - Test Soruları
Türküler, Türkü Sözleri, Türkülerimiz
Uluslararası İlişkiler Ve Politika İle İlgili Konu Anlatımlar
Vatandaşlık, Anayasa, İnsan Hakları Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Yazarların, Şairlerin Hayatı, Eserleri / Kitapları, Edebi Kişilikleri
Yazılı Soruları - Yazılı Arşivi 
Devamını Göster >>>

EĞLENELİM GÜLELİM

BİLGİSAYAR OYUNLARI

YEMEK TARİFLERİ

Yemek Tarifleri Beslenme Ve Mutfak

DİNİM İSLAMİYET

EĞİTİM ÖĞRETİM

egitim-ögretim

KONU ANLATIMLI DERS

YAZILI SORULARI

SORU BANKASI TESTLER

Soru Bankası Test Soruları

REHBERLİK KÖŞESİ

ROMAN HİKAYE ŞİİR

 

   

Geri Dönüş Yolu: eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER, DENKLEM ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

 TANIMLAR:

 

a, b, c Î R  ve  a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 

Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.

 

Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.

 

Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

 

 

UYARI

 

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

 

İlk olarak ax2 + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   3x2 – 5x = 0                   2.   x2 – x – 6 = 0                   3.   2x2 + x – 1 = 0

 

ÇÖZÜMLER :

3x2 – 5x = 0                           2.   x2 - x - 6 = 0                         3.   2x2 + x - 1 = 0

x . (3x – 5) = 0                            (x - 3) . ( x + 2) = 0                    (x + 1) . (2x - 1) = 0

x = 0   V   3x – 5 = 0                   x - 3 = 0   V   x + 2 = 0               x + 1 = 0   V   2x - 1 = 0

 

 

ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

 

ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

 

(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).

Bu kökler gerçel sayı ise b2 - 4ac ³ 0 olması gerekir.

 

 

TANIM :

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b2 - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

 

Denklemin kökleri ise

formülleri ile bulunur.

 

Bu kökler kısaca,

biçiminde yazılır.

 

İrdeleme: ax2 + bx + c = 0 denkleminde  D = b2 - 4ac iken

 

1.   D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

 

Bunlar

dır.

 

UYARI

a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır.

 

2.   D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

D = 0 olduğundan (ax2 + bx + c) ifadesi tamkare olur.

 

3.   D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

 

 

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir.

Bu durumda, D’ = (b’)2 - ac

 

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1.   x2 + 3x - 1 = 0               2.   2x2 - 3x + 10 = 0               3.   x2 - 2

 

ÇÖZÜMLER :

1. x2 + 3x - 1 = 0                                              2.   2x2 - 3x + 10 = 0

a = 1,   b = 3,   c = -1                                         a = 2, b = - 3, c= 10

D = (3)2 - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13                       D = (-3)2 - 4.2.10 = 9 - 80 = -71

D < 0 olduğundan Ç = Æ dir.

 

 

 

 

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

 

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

 

P(x).Q(x) =Û  P(x) = 0   V   Q(x)   = 0

 

 

ÖRNEKLER:

1.   2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0                                           2.   3(x - 4)2 - 48 = 0

x2 (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0                                               3[(x - 4)2 - 16] = 0 Þ (x - 4)2 - 42 = 0

(2x + 3) (x2 - 9) = 0                                                          (x - 4) - 4 = 0   V   (x - 4) + 4 = 0

(2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0                                                      x - 8 = 0                         x = 0

2x + 3 = 0   V   x - 3 = 0   V   x + 3 = 0                                           x = 8

 

 

RASYONEL DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 

 

 

YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

 

ÖRNEK:   x6 + 26x3 - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x3 = t olsun x6 = (x3)2 = t2 olur.

Buradan denklem

t2 + 26t - 27 = 0  biçimine dönüşür.

Þ (t + 27) . (t - 1) = 0

t + 27 = 0   V   t - 1 = 0

t = -27      t = 1

x3 = -27     x3 = 1

x = -3           x = 1

Ç = {-3,1}

 

 

 

KÖKLÜ DENKLEMLER

 

n Î N+ ve P(x)  Π R[x]  olmak üzere

 

 

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1.          Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.

2.          Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.

3.          Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 eşitliğinin sağlanması için,

x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³Þ x ³ -4 olmalıdır.

x + 6 = x2 + 8x + 16 Þ x2 + 7x + 10 = 0

(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5   V   x = -2

Þ Ç = {-2}

 

 

 

ÜSLÜ DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 dır.

(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0   V   x - 2 = 0

Þ x = -3              x = 2

Ç = {-2, 3}

 

 

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

 

Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.

n Î N+

 

ÖRNEK:

x2 - |x|- 2 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - |x| - 2 = 0

Þ         x2 - (-x) - 2 = 0

Þ         x2 + x - 2 = 0

Þ         (x + 2) . (x - 1) = 0

x = -2        x = 1

Ç1 = {-2}

x ³ 0 Þ |x| = x dir.

Þ         x2 - x - 2 = 0

(x - 2)  (x + 1) = 0

x = 2   V   x = -1

Ç2 = {2}

Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç1 È Ç2 dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur.

 

 

DENKLEM SİSTEMLERİ

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

x + y = 20   Þ   y = 20 - x,   x .y = 64   Þ   x . (20 - x) = 64

20x - x2 = 64   Þ   x2 - 20x + 64 = 0

Þ   (x - 16) (x - 4) = 0,            x1 = 16   V   x2 = 4

Þ   y1 = 20 - 16       Þ y2 = 20 - 4

y1 = 4                      y2 = 16

Ç = {(16, 4) , (4, 16)}

 

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

PAREMETRELİ DENKLEMLER

 

İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir. bilgi yelpazesi.net

 

Örneğin; mx2 - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 - (a - b)x + a . b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

 

ÖRNEK:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0

x = -1 için (m - 3) (-1)2 - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0

m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0

6m = 6   Þ   m = 1

 

 

ÖRNEK:

mx2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

 

ÇÖZÜM:

x1 = x2 ise D = 0 olmalıdır.

Þ   (b’)2 - ac = 0   D   [ - (m - 1)]2 - m(m - 5) = 0

 

UYARI

İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

3 / 2x2 - (n - 1)x - m + 6 = 0

2 / 3x2 - 2x + 2m - 1 = 0

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı   D = b2 - 4ac ve kökleri

idi.

 

 

 

UYARI

Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

 

ÖRNEK:

2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

x12 + x22 = 4 ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

Denklemde a = 2,   b = -4,   c = m - 3 dür.

16 - 4m + 12 = 16

m = 3

 

 

ÖRNEK:

2x2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır? bilgi yelpazesi.net

 

ÇÖZÜM:

Denklemin kökleri x1, x2 olsun.

İstenen bağıntı (x1 - 3) . (x2 - 3) dür.

Buna göre;

(x1 - 3) . (x2 - 3) = x1x2 - 3x1 - 3x2 + 9

 

 

 

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK

 

Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x1) . (x - x2) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 denklemi elde edilir.

 

ÖRNEK:

Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 Þ x2 - (-1) . x + (-6) = 0

Þ x2 + x - 6 = 0 dır.

 

ÖRNEK:

Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:

 

UYARI

a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü

 dur.

 

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.

Yorumlar

..

17. **Yorum**
->Yorumu: proje ödevime yardımcı oldunuz çok teşekkür ederim <33
->Yazan: kadir tan ..

16. **Yorum**
->Yorumu: teşekkürler yazdığınız için yoksa dönem ödevinin son akşamıydı
->Yazan: rıdvan.

->Yazan   : ilayda
->Yorumu:  yıllık ödevimde bana yardımcı olduğunuz için teşekkür ederim....

->Yazan   : ilhan
->Yorumu: çok sagolun  valla  çok   güzel olmus  ellerinize  saglik.

->Yazan   : kazim
->Yorumu: çok güzel konular ya kim koyduysa çokk tesekkürler.

->Yazan   : Tamer
->Yorumu: Çok tesekkürler 2.sinava sayenizde iyi hazirlandim.Ellerinize saglik.Tesekkürler !.

->Yazan : bilmiyorum bu soruyu
->Yorumu: iki bölü üç(x-1)-bir bölü alti (2x-3)=0 denklemin çözüm kümesi nedir ?.

->Yazan : tülay
->Yorumu: çok thanks ;) sayenizde dönm ödevimi tammlayarak 95 aldim....

->Yazan : Sefa
->Yorumu: gerçekten çok mükemmel bir site, yillik ödevim sayenizde çok iyi oldu tesekkürler ....

->Yazan : abdullah y.
->Yorumu: çok saolun emeginize saglik son 2 gün ve burdan yapiyorum tsk.

->Yazan : özge
->Yorumu: çok saolun dönem ödevimi hazirladim bu bilgiler sayesinde :)).

->Yazan : TUGÇE
->Yorumu: YILLIK ÖDEVIM ÇIKTI ÇOK SÜPER ANLATILMIS TENKS:).

->Yazan : Adem
->Yorumu: Tesekur Ederim Sayenizde Donem Odevin Hzirlicam Emeginize Saglik.

>Yazan: burak
>Yorum:
mükemmel . dönem ödevimi nerden bulucam derken bu sayfa harika oldu. çok saolun.

>Yazan: melike
>Yorum:
tskkürler sayenizde dönm ödewimi hazirladim çok saolunn.

>Yazan: sabri dogan
>Yorum:
çok güzel anlatmissiniz tesekkür ederim.

>Yazan: TUGÇE
>Yorum:
ÇOK TEŞEKKÜR EDERİM BU KONUYU BURAYA KOYDUĞUNUZ İÇİN,,,,.

>>>YORUM YAZ<<<
Not: Yorum Yaz Bölümünden Yazılar Da Gönderebilirsiniz. Yazıyı belgenizden kopyalayıp
aşağıdaki
Yorumunuz Kutucuğu'na yapıştırmanız yeterli...

 Adınız:
 Yorumunuz :


Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin
ve
delete tuşuna basın...

 


Eklediğiniz yorumlar/yazılar onaylandıktan sonra siteye eklenecektir.

 E Mail
(Zorunlu Değil):


 
 


<<<TELIF HAKKI KONUSU (ALTTAKI KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>

...Degerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazirladigimiz binlerce yazi bulunmaktadir... Hassas davranmamiza karsin gözümüzden kaçan bazi yazilar telif hakkiyla korunuyor olabilir... Telif Hakkiyla korunan yazilarla karsilasirsaniz (KAYNAK GÖSTERMENIZ SARTIYLA) yazilarin altindaki YORUM YAZ kismina bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazilar derhal siteden kaldirilacaktir... Saygilarimizla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...