Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

Bir Polinom ifadenin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasına çarpanlara ayrıma denir Çarpanlara Ayırma denir.

Çarpanlara Ayırma rasyonel ifadelerin sadeleşmesine ve denklem çözümlerinin çok kullanıldığı bir işlemdir.Çarpanlara ayırmada ilk adım çarpanların toplama üzerinde dağılma özelliğinden faydalanarak EBOÇ (En Büyük Ortak Çarpan ) kullanmaktır.

İki yada daha fazla üstel ifade verildiğinde bunların üsleri veya tabanları aynı olması halinde EBOÇ kullanılır

 için EBOÇ =  dür,

 için EBOÇ = a dır

Ör:

Polinom ifadelerinin bazıları ise  GRUPLANDIRILARAK çarpanlara ayrılabilir.

 ifadesini ele alırsak ;   ilk iki ile son iki terimlisi gruplandırılmalı.

  her grup içinde EBOÇ bulunmalı.

=(2y-7).(3y² -2)

3 terimli Polinom ifadelerinde deneme yöntemi ile çarpanlara ayrıma yapılır.

Ör:

in çarpanlarına ayırmada dikkat edilecek hususlar ;

1-) c sabiti dağılma özelliği iki terimlinin sabitlerinin çarpımından gelir.

2-)b katsayısı iki terimlideki sabitlerin toplamıdır.

3-)c pozitif ise, iki terimlideki sabitler aynı işaretlidir.

4-) c negatif ise, iki terimlideki sabitler ters işaretlidir.b`nin önündeki önündeki işaret ise mutlak değerce büyük olan sabitin işaretidir.

Örnek;

 ifadesini çarpanlara ayırınız.

Çözüm:

Burada uygulanacak yöntem ; -18’in çarpanlarını bularak bunlardan hangi ikisinin toplamının +7 verdiğini bulmaktır. Bu ise -2 ve +9 ‘un toplamıdır.

 (x-2).(x+9)

 ‘nin çarpanlara ayrılmasında dikkat edilecek hususlar ;

- Üç  terimlinin sabit terimi pozitif ise iki terimlinin sabit terimleri aynı işaretli olup bu işaret aynı zamanda b’ninde işaretidir

- Üç terimlinin sabit teriminin sabit işareti negatif ise iki terimlilerin sabit terimlilerin sabitleri ters işaretleridir.

- Üç terimli ifadenin terimlerinin ortak çarpanı yoksa , iki terimlilerinde ortak çarpanı yoktur.

Örnek ;

 ifadesinin çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:  Sabit terim +4 olup, çarpanlarına ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin sabit terimleri aynı aynı işaretli oldukları anlaşılır. b = -11 olduğu için her ikisininde (-) olduğuna karar verilir

Bu çarpanlarda doğru orta terim bulmaya çalışılır.

Denen  Çarpanlar                                Ortadaki  Terim

(x-1).(6x-4)                                     6x ile 4’ün ortak çarpanı var.

(x-4).(6x-1)                                     -x-24 = -25x

(x-2).(6x-2)                                     6x  ile 2’nin ortak çarpanları var

(2x-1).(3x-4)                                   -8x-3x =-11x   ->  Doğru Orta Terim

O Halde:

DİKKAT:Bazı durumlarda bir bir polinomu iki polinomun (tam katsayılı) çarpımı şeklinde ifade etmek mümkün (bilgi yelpazesi.net) olmayabilir. Örneğin   tam sayılarda çarpanlara ayrılamaz.Çünkü 7 sayının çarpanlarının toplamının veya farkı üç sayısını veremez.

ÇARPANLARA AYIRMA TEOREMİ:

Üç terimli polinomlarda  tamsayı katsayıları a,b,c olmak üzere, şayet   tam kare ise bu üç terimli iki terimlinin çarpımı halinde yazılabilir.

Örnek:   ifadelerini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm :

121 tam kare olduğundan çarpanlarına ayrılabilir.

Bazı polinomların dereceleri ikiden fazla olmasına rağmen deneme metotu kullanarak çarpanlara ayrılabilir.

polinomunu ele alırsak tüm terimlerin işaretlaerinin pozitif olduğunu görüyoruz; buradan da çarpanlara ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin bütün katsayılarının pozitif olması gerekiyor.

ÖZDEŞLİKLER:

Bazı polinomlar da aşağıdaki özdeşlikleri kullanarak çarpanlarına ayrılır.

RASYONEL İFADELER

TANIM: P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve Q(x)≠0 için. biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.

X  elemanını reel sayılar kümesinden seçersek , paydanın sıfır olduğu haller dışında ,

 daima reel değerler verir.

Yani x  R için

  reel sayıların bir alt kümesinden ,reel sayılara bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

biçimindeki rasyonel ifadeleri , rasyonel sayılarda olduğu gibi sadeleştirebiliriz .Ancak bunu yaparken  x elemanını tanımsız kabul ediyoruz.

Örnek:

   ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

RASYONEL İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Rasyonel ifadeler toplanır veya çıkarılırken şu işlemler uygulanır ;

- İfadeler çarpılırken en sade biçimine getirilir.

- Paydalar eşitlenir.Bunun için paydaların EKOK u bulunur.Her ifade, paydası EKOK olacak şekilde genişletilir.

- Paydalar toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.Ortak paydada paya yazılır.

- Bulunan sonuç sadeleşiyorsa tekrar sadeleştirilir.

Örnek :

   işlemini yapınız.

Çözüm :

Örnek:

  işlemini yapınız.

Çözüm

RASYONEL İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

Rasyonel İfadelerde Çarpma İşlemi Yapılırken ;

- Verilen ifadeler çarpanlarına ayrılır.

- Sadeleştirme (bilgi yelpazesi.net) varsa yapılır.

- Paylar çarpılıp paya ,paydalar çarpılıp paydaya yazılır.

Rasyonel İfadelerde Bölme İşlemi Yapılırken;

- Birinci ifade aynen yazılır .İkinci ters çevirilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek :

  işlemini yapınız.

Çözüm:

Örnek :

  işlemini yapınız.

Çözüm:

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

1-) x =196 , y = 4  , a = 38 , b = 2 için

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm :

2-)   olduğuna göre x²  nedir?

Çözüm:

3-) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere ;

 olduğuna göre ,

  ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

x ve y pozitif gerçel sayı olduğundan ;

4-) x pozitif  sayısı gerçel sayı olmak üzere;

ifadesini değeri kaçtır?

Çözüm:

5-)

 işleminin sonucu kaçtır ?

Çözüm:

6-)  olduğuna göre   = ?

Çözüm:

7-)  x + y +z = 6

xy +yz +xz =12 olduğuna göre  toplamı kaçtır ?

Çözüm:

8-)    toplamının en küçük değeri kaçtır ?

Çözüm:

9-)

Şekildeki dairenin yarıçapı r ,dıştaki yarı çapı ise R dir.Dairenin çevrelerinin toplamı     olduğuna göre R kaçtır?

Çözüm:

10-) x<0<y  olmak üzere

olduğuna göre y nin değeri nedir?

Çözüm:

11-)

kaçtır ?

Çözüm:

12-)   olduğuna göre ;

 ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm:

13-)  olduğuna göre ,

 ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm:

14-)

 ifadesini sadeleşebilen bir kesir olduğuna göre, m in alabileceği değerler (bilgi yelpazesi.net) toplamı nedir ?

Çözüm:

15-)

ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?

Çözüm:

16-)  

a +b + c toplamının değeri kaçtır.

Çözüm:

17-)

ifadesinin pozitif değeri kaçtır?

Çözüm:

18-)

ifadesinin sonucu kaçtır ?

Çözüm:

19-) a-b=7 olduğuna göre   ifadesinin sayısal değeri nedir ?

Çözüm:

20-)

Çözüm: